數學史上第二次數學危機與微積分的誕生
十七、十八世紀關於微積分發生的激烈的爭論，被稱為第二次數學危機。從歷史或邏輯的觀點來看，它的發生也帶有必然性。微積分產生初期，由於還沒有建立起鞏固的理論基礎(主要是極限理論)，出現了這樣那樣的問題，被一些聰明的人鑽了空子。事實往後百多年亦沒有人能清楚回答這些問題。這就是歷史上的第二次數學危機，而這危機的引發和牛頓有直接的關係。
早在古代，人們就對長度、面積、體積的度量問題感興趣。古希臘的歐多克斯引入量的觀念來考慮連續變動的東西，並完全依據幾何來嚴格處理連續量。這造成數與量的長期脫離。古希臘的數學中除了整數之外，並沒有無理數的概念，連有理數的運算也沒有，可是卻有量的比例。他們對於連續與離散的關係很有興趣，尤其是芝諾提出的四個著名的悖論：
運動不存在
第一個悖論是說運動不存在，理由是運動物體到達目的地之前必須到達半路，而到達半路之前又必須到達半路的半路……如此下去，它必須通過無限多個點，這在有限長時間之內是無法辦到的。
跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜
第二個悖論是跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜。因為烏龜在他前面時，他必須首先到達烏龜的起點，然後用第一個悖論的邏輯，烏龜者在他的前面。這兩個悖論是反對空間、時間無限可分的觀點的。
飛矢不動與遊行隊伍悖論
而第三、第四悖論是反對空間、時間由不可分的間隔組成。第三個悖論是說「飛矢不動」，因為在某一時間間隔，飛矢總是在某個空間間隔中確定的位置上，因而是靜止的。第四個悖論是遊行隊伍悖論，內容大體相似。這說明希臘人已經看到無窮小與「很小很小」的矛盾。當然他們無法解決這些矛盾。希臘人雖然沒有明確的極限概念，但他們在處理面積體積的問題時，卻有嚴格的逼近步驟，這就是所謂「窮竭法」。它依靠間接的證明方法，證明了許多重要而難證的定理。應該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量;萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎方面的缺陷，最終導致了第二次數學危機的產生。
微積分的誕生
到了十六、十七世紀，除了求曲線長度和曲線所包圍的面積等類問題外，還產生了許多新問題，如求速度、求切線，以及求極大、極小值等問題。經過許多人多年的努力，終於在十七世紀晚期，形成了無窮小演算--微積分這門學科，這也就是數學分析的開端。 牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者。他們的功績主要在於：1，把各種問題的解法統一成一種方法，微分法和積分法;2，有明確的計算微分法的步驟;3.微分法和積分法互為逆運算。
第二次數學危機
由於運算的完整性和應用範圍的廣泛性，使微積分成為解決問題的重要工具。同時關於微積分基礎的問題也越來越嚴重。以求速度為例，瞬時速度是Δs/Δt當Δt趨向於零時的值。Δt是零、是很小的量，還是什麼東西，這個無窮小量究竟是不是零。這引起了極大的爭論，從而引發了第二次數學危機。
十八世紀的數學家成功地用微積分解決了許多實際問題，因此有些人就對這些基礎問題的討論不感興趣。如達朗貝爾就說，現在是「把房子蓋得更高些，而不是把基礎打得更加牢固」。更有許多人認為所謂的嚴密化就是煩瑣。但也因此，微積分的基礎問題一直受到一些人的批判和攻擊，其中最有名的是貝克萊主教在1734年的攻擊。十八世紀的數學思想的確是不嚴密的、直觀的、強調形式的計算，而不管基礎的可靠與否，其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，因此導數、微分、積分等概念不清楚;對無窮大的概念也不清楚;發散級數求和的任意性;符號使用的不嚴格性;不考慮連續性就進行微分，不考慮導數及積分的存在性以及可否展成冪級數等等。
第二次數學危機的解決
一直到十九世紀二十年代，一些數學家才開始比較關注於微積分的嚴格基礎。它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄裡克萊等人的工作開始，最終由威爾斯特拉斯、戴德金和康托爾徹底完成，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了一個嚴格的基礎。波爾查諾不承認無窮小數和無窮大數的存在，而且給出了連續性的正確定義。柯西在1821年的《代數分析教程》中從定義變量開始，認識到函數不一定要有解析表達式。他抓住了極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，並定義了導數和積分;阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數展開及求和;狄裡克萊給出了函數的現代定義。在這些數學工作的基礎上，維爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現在通用的ε - δ的極限、連續定義，並把導數、積分等概念都嚴格地建立在極限的基礎上，從而克服了危機和矛盾。
實數理論
十九世紀七十年代初，威爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人獨立地建立了實數理論，而且在實數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理，從而使數學分析終於建立在實數理論的嚴格基礎之上了。同時，威爾斯特拉斯給出一個處處不可微的連續函數的例子。這個發現以及後來許多病態函數的例子，充分說明了直觀及幾何的思考不可靠，而必須訴諸嚴格的概念及推理。由此，第二次數學危機使數學更深入地探討數學分析的基礎--實數論的問題。這不僅導致集合論的誕生，並且由此把數學分析的無矛盾性問題歸結為實數論的無矛盾性問題，而這正是二十世紀數學基礎中的首要問題。第二次數學危機的影響畢達哥拉斯關於數的信條及以數為基礎的宇宙模型的破產,導致了第一次數學危機.這一危機的影響是巨大的,它不僅推動了數學及其相關學科的發展,使古希臘數學的基礎發生了根本性的變化,而且推動了整個科學的發展.在古希臘,數學和哲學是結盟的,哲學使古希臘的數學趨於抽像和真理.正是由於古希臘的哲學背景,使其有可能建立世界上第一個數學公理系統,並最終導致了近代科學的誕生.
數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。透過抽像化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的真理。