公理集合論什麼出現的？公理集合論有哪些內容
公理集合論(axiomatic set theory)是數理邏輯的主要分支之一，是用公理化方法重建(樸素) 集合論的研究以及集合論的元數學和集合論的新的公理的研究。
19世紀70年代，德國數學家G.康托爾給出了一個比較完整的集合論，對無窮集合的序數和基數進行了研究。20世紀初，羅素悖論指出了康托爾集合論的矛盾。為了克服悖論，人們試圖把集合論公理化，用公理對集合加以限制。
第一個常用的公理系統是E.F.F.策梅洛和A.A.弗倫克爾等提出的ZF系統。這個系統中只有一個非邏輯二元關係符號∈，非邏輯公理有:外延公理、空集公理、無序對公理、並集公理、冪集公理、無窮公理、分離公理模式、替換公理模式、正則公理。如果加上選擇公理就構成ZFC系統。利用公理可以定義出空集、序對、關係、函數等集合，還可以給出序關係、良序關係、序數、基數，也可以給出自然數、整數、實數等概念。
通過元語言，也可公理系統中各公理之間的相容性和獨立性，例如Cohen於1960年創立公理集合論中的力迫法，並用來證明ZFC與連續統假設CH獨立。公理集合論發展很快，馬丁公理、蘇斯林假設等新公理新方法已被廣泛使用，組合集合論、描述集合論、大基數、力迫法的研究也持續發展。
在公理集合論的研究中，大量的工作是關於集合論模型的，此外，還繼續此前樸素集合論對無窮組合問題的研究即組合集合論的研究。其中的一些問題是來源於柯尼希樹引理和 F. P.拉姆齊定理的推廣。
另一分支則為描述集合論(亦稱解析集合論)，主要是研究劃分層次以後的實數子集的結構性質問題。因而，這一部分與分析、實數理論和遞歸論的關係較為密切。
即使限於上述兩個分支的研究，也有許多問題要用到ZF(或ZFC)以外的附加假設才能判定。這裡，常用的附加假設有:可構成公理;各種大基數公理，以及與AC不協調的決定性公理等。
哥德爾在1938年提出了可構成公理，並在60年代末和70年代得到重視和發展。至於大基數的研究由來已久，但其作為附加公理亦是在60年代以後。幾乎每一種大基數都是ω的某種性質向不可數基數的推廣。可構成性、大基數和力迫法已成為公理化集合論的三大主流，同時它們又是三種研究工具。隨著無窮博弈的誕生和博弈論在數學各分支的滲透，以及博弈論與邏輯的關係日益密切，決定性公理也愈受到重視。