投票悖論是什麼？孔多塞悖論的發展與解決
投票悖論指的是在通過"多數原則"實現個人選擇到集體選擇的轉換過程中所遇到的障礙或非傳遞性，這是阿羅的不可能定理衍生出的難題。公共選擇理論對投票行為的研究假設投票是那些其福利受到投票結果影響的人們進行的，投票行為的作用是將個人偏好轉化為社會偏好。在多數投票原則下，可能沒有穩定一致的結果。
起源
歷史
孔多塞發現這一悖論是在十八世紀。200多年來，西方國家對於民主政治的研究極其深入，關於投票問題已經形成系統和成熟的理論體系，孔多塞、阿羅、阿馬蒂亞·森等都曾在這一領域做出過傑出貢獻。這些研究推動了西方民主的不斷發展。
孔多塞悖論
十八世紀法國思想家孔多賽就提出了著名的"投票悖論"，也稱做是"孔多塞悖論":假設甲乙丙三人，面對ABC三個備選方案，有如下圖的偏好排序:
甲A>B>C
乙B>C>A
丙C>A>B
由於甲乙都認為B好於C，根據少數服從多數原則，社會也應認為B好於C;同樣乙丙都認為C好於A，社會也應認為C好於A。所以社會認為B好於A。但是，甲丙都認為A好於B，所以出現矛盾。投票悖論反映了直觀上良好的民主機制潛在的不協調。
在得多數票獲勝的規則下，每個人均按照他的偏好來投票。大多數人是偏好x勝於y，同樣大多數人也是偏好y勝於z。按照邏輯上的一致性，這種偏好應當是可以傳遞的(transivity)，即大多數人偏好x勝於z。但實際上，大多數人偏好z勝於x。因此，以投票的多數規則來確定社會或集體的選擇會產生循環的結果，這就好像一隻狗在追自己的尾巴，會沒完沒了地循環下去。結果，在這些選擇方案中，沒有一個能夠獲得多數票而通過，這被稱作"投票悖論"(thevotingparadox)，它對所有的公共選擇問題都是一種固有的難題，所有的公共選擇規則都難以避開這種兩難境地。
發展
1972年諾貝爾經濟學獎的獲得者肯尼思·阿羅，在他的《社會選擇與個人價值》(1951)中，證明了著名的阿羅不可能性定理，把這個投票悖論形式化了。在該書中，他運用數學工具把孔多塞的觀念嚴格化和一般化了。 那麼，能不能設計出一個消除循環投票，做出合理決策的投票方案呢?
阿羅的結論
根本不存在一種能保證效率、尊重個人偏好、並且不依賴程序 (agenda)的多數規則的投
投票悖論
投票悖論
票方案。
阿羅證明
不存在同時滿足如下四個基本公理的社會選擇函數:
1)個人偏好的無限制性，即對一個社會可能存在的所有狀態，邏輯 上可能的個人偏好都不應當先驗地被排除;
2)弱帕累托原則，
3)非相關目標獨立性，即關於一對社會目標的社會偏好序不受其它目標偏好序變化的影響;
4)社會偏好的非獨裁性。
簡單地說，阿羅的不可能定理意味著，在通常情況下，當社會所有成員的偏好為已知時，不可能通過一定的方法從個人偏好次序得出社會偏好次序，不可能通過一定的程序準確地表達社會全體成員的個人偏好或者達到合意的公共決策。投票悖論表明:根本不存在一種能滿足阿羅五個假設條件的社會選擇原理。解決投票悖論的方法是限制投票偏好，即將多峰偏好改為單峰偏好。
解決
1998年諾貝爾經濟學獎獲得者阿馬蒂亞·森在20世紀70年代提出對"投票悖論"的解決方法。阿馬蒂亞·森所提出的解決投票悖論、繞過"阿羅不可能定理"的方法就是改變甲、乙、丙其中一個人的偏好次序，以解決投票悖論的問題。
舉例
比如將甲的偏好次序從(A>B>C)改變為(A>C>B)
，新的偏好次序排列如下:
甲A>C>B
乙B>C>A
丙C>A>B
於是得到三個社會偏好次序--(A>B)(C>B)(C>A)，這樣就能避開投票悖論，當然它卻改變了甲的偏好次序。
阿馬蒂亞·森選擇模式
阿馬蒂亞·森把這個發現加以延伸和拓展，得出了解決投票悖論的三種選擇模式:
一、所有人都同意其中一項選擇方案並非是最佳;
二、所有人都同意其中一項選擇方案並非是次佳;
三、所有人都同意其中一項選擇方案並非是最差。
阿馬蒂亞·森表示在上述三種選擇模式下，投票悖論不會再出現，取而代之的結果是得大多數票者獲勝的規則總是能達到唯一的決定。但是有一個問題是為了追求一致性，改變、忽略、犧牲了個人偏好次序。